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体 field

■群 group

　集合Ｇに演算＊が定められていて、次の条件を満たすとき（Ｇ，＊）は群であるという。

• 結合法則　(a*b)*c=a*(b*c)
• 単位元　ある元eが存在して、全てのaに対して、a*e=e*a=a
• 逆元　　任意のaに対してある元bがあって、a*b=b*a=e

■環 ring

　集合Ｒに演算＋と＊が定められていて、次の条件を満たす時（Ｒ，＋，＊）は環であるという。

• （Ｒ，＋）は可換群である。すなわち
  • (a+b)+c = a+(b+c)
  • 単位元0があって、a+0=0+a=a
  • 各元aに対して逆元(-a)があって、a+(-a)=(-a)+a=0
• ＊に関して結合法則が成り立つ。(a*b)*c=a*(b*c)
• 分配法則 a*(b+c) = (a*b)+(a*c), (b+c)*a = (b*a)+(c*a)

環において＋を加法、＊を乗法といい、加法の単位元を０、乗法の単位元を１で表す。

■体 field

　集合Ｋに演算＋と＊が定められていて、（Ｋ，＋，＊）が可換単位環であり更に、Ｋの０以外の元が＊に関して可換群をなす時、Ｋは体という。

整数の全体は可換単位環である。実数の全体,有理数の全体,複素数の全体は体である。

■線形空間 linear space

体Ｋと可換群Ｌがあり、Ｋ×Ｌ→Ｌの演算・が定められていて、次の条件を満たすとき、ＬはＫ上の線形空間であるという。

• m∈Ｋ, v∈Ｌとして、mv=vm
• m∈Ｋ, v,u∈Ｌとして、m(v+u)=(mv+mu)
• m,n∈Ｋ, v∈Ｌとして、(mn)v=m(nv)
• m,n∈Ｋ, v∈Ｌとして、(m+n)v=(mv+nv)
• 1をＫの単位元,v∈Ｌとして、1v=v